晶体的Bravais点阵

开场：把上一式的结论，放进“堆垛机”里

上一式我们证明了点阵只认 1、2、3、4、6 次轴对称。这一式要把这条结论兑现成具体的清单：先在二维平面上排一排，看看能排出几种点阵；再把这一张张平面点阵沿平面外的方向一层层堆起来，看看三维又有几种。答案分别是 5 种和 14 种。为了纪念把它们算清楚的那位法国晶体学家布拉菲（A. Bravais），这两份清单都叫布拉菲点阵。

一、先在地面上排整齐：二维只有 5 种平面点阵

平面点阵能容许的对称操作既然被限制在那几种，组合出来的花样也就屈指可数。把“有没有镜面”、“有多大角度的旋转轴”、“要不要在中间加个点”这几种可能穷举一遍，二维平面上只剩下面 5 种。它们对应的那些二维点群（一共 10 个，含最平凡的 1）见下表。

5 种二维布拉菲平面点阵（依据正文整理）

平面点阵	基矢关系	特征对称	所含二维点群
斜形点阵	a ≠ b，γ ≠ 90°（任意）	最一般，对称最低	1、2
矩形点阵	a ≠ b，γ = 90°	多出两组镜面	m、2mm
有心矩形点阵	a ≠ b，γ = 90°，矩形中心再加一点	与矩形完全相同	m、2mm
正方点阵	a = b，γ = 90°	有 4 次轴	4、4mm
六方点阵	a = b，γ = 120°	有 6 次轴（也兼容 3 次）	3、3m、6、6mm

二、动画 ①：五种平面点阵，一个都别落下

🎬 动画 ①　二维的 5 张名片：只画一个单胞循环播放

三、保罗堆垛：14 种三维空间点阵

现在把二维的平面点阵当成一张纸，沿平面外方向一层层摞起来。层与层之间还要有一个相对位移矢量参与——这一动就会引入新的花样。把 5 种平面点阵配合各种堆垛方式，最终只收敛出 14 种空间点阵，分属 7 大晶系：

7 大晶系与 14 种三维布拉菲点阵（依据正文整理）

晶系	点阵常数特征	可用点阵	种数
三斜	a ≠ b ≠ c，α ≠ β ≠ γ ≠ 90°	P	1
单斜	a ≠ b ≠ c，α = γ = 90° ≠ β	P、C	2
正交	a ≠ b ≠ c，α = β = γ = 90°	P、C、I、F	4
四方	a = b ≠ c，α = β = γ = 90°	P、I	2
三方	a = b = c，α = β = γ ≠ 90°	R	1
六方	a = b ≠ c，α = β = 90°，γ = 120°	P	1
立方	a = b = c，α = β = γ = 90°	P、I、F	3
合计			14

四、动画 ②：四种加心方式，点数一算便知

“加心”就是在单胞的角之外，再往某些位置塞点。四种基本方式是：P（初基，只在八个角上）、I（体心，正中1加一颗）、F（面心，六个面的中心各加一颗）、C（底心，上下这一对面的中心各加一颗）。要算一个单胞里实际分摊到几个点阵点，规矩是：角上的点被 8 个相邻单胞分着摊，面上的点被 2 个单胞分着摊，体内的整颗才算自己一个。

🎬 动画 ②　P / I / F / C：四个加心兄弟与它们的点数循环播放

五、为什么不是 7 × 4 = 28 种？

七个晶系，四种加心方式，粗看一乘是 28，实际只剩 14。少的那 14 种去哪了？答案是：它们全都“长得像别家”，换个取法，所谓的“新点阵”其实就是前面某一种的老相识，于是被合并掉了。举几个经典的：

一些会被自动合并掉的组合（依据正文整理）

看着像是新的	其实等价于	结果
底心四方（C 心四方）	取更小的简单四方单胞即可	不单独列为一种
面心四方（F 心四方）	换个取法就是体心四方	不单独列为一种
体心单斜	换个坐标轴方向就是底心单斜	单斜只留 P、C
面心单斜	同样可化为底心单斜	单斜只留 P、C