晶体的平移对称性
来自 第一重 · 晶体的对称性
开场：1912 年，劳厄给原子们验了明身
晶体长得有棱有角，顶多说明它“外面规矩”，可内部原子到底是不是规规矩矩排着队？这个问题曾经争论了很多年。直到 1912 年，劳厄（Laue）用 X 射线照晶体，底片上打出一圈漂亮的衍射斑点——内部原子的周期性这才被抓了现行。自此，“晶体内部的原子在三维空间里周期性重复排列”成了板上钉钉的事实。这一节要说的平移对称性，就是这份周期性的数学表达。
一、点阵：把花哨的结构抽象成一堆一模一样的点
真实晶体里坐在某个位置上的可能是一个原子，也可能是一团好几个原子组成的小集团。但既然它们是一遍遍重复出现的，我们干脆把这一整个“包袱”缩成一个几何点。这样抽象出来的一堆点，就叫点阵——点阵上的每一个点叫点阵点，而且每一个点周围的环境必须一模一样，这是点阵的硬性家规。
在平面点阵里任取一个点阵点当原点 O，再找两个不平行的平移矢量 a、b（叫基矢），那么这张点阵上任何一个点阵点的位置矢量都能写成：
这句话看着朴素，分量却极重：它说的就是平移对称性——你沿着 m 个 a、n 个 b 走过去，落地的地方一定还是点阵点，而且四周景象和出发点分毫不差。走到天涯海角都一样，这就是“周期”二字的全部含义。
推广到真实的三维晶体，再补上第三个方向上的基矢 c，任意点阵点的位置矢量写成：
注意这里有个很实在的推论：三个不在同一条直线上的点阵点，就唯一决定一个平面点阵。意思是只要抓到三个点，整张点阵就被锁死了——多一个点不必给，少一个点不够用。
二、动画 ①：m a + n b ——点阵里的“打车法则”
纸上算式容易发闷，我们直接走一趟。下面这张点阵里，蓝色横向矢量是 a，橙色斜向矢量是 b。想从原点 O 摸到右上角那个目标点，规矩只有一条：横着只能整格走 a，斜着只能整格走 b，不许走半步。于是这段路可以分解成“先走 3 个 a，再爬 2 个 b”——写成算式就是 3a + 2b，m = 3、n = 2。
三、单胞：切一小块当“搬运单位”，但怎么切并没有标准答案
点阵铺向无穷远，我们不可能真的把点一直画下去，于是要切出一个最小的重复单元，沿三个方向一搬就能复制出整张点阵——这就是单胞。麻烦（也是有趣）的地方在于：单胞的切法从来不是唯一的。
按里面装了几个点阵点，单胞分成两类：简式单胞（也叫初基单胞）只含有 1 个点阵点——角上那个点被相邻单胞四个或八个分着摊，摊到自家头上只剩 1/4 或 1/8，七拼八凑正好凑成 1 个；复式单胞则装了 2 个或更多点阵点。既然最小的切法存在，为什么还要用复式单胞？因为惯用单胞宁可不最小，也要把晶体的对称性照出来——一个歪歪扭扭的平行四边形再省事，也没有一个四四方方能看出四次轴的方块来得直观。这桩取舍，到下一式讲 14 种 Bravais 点阵时还会再遇上。
四、动画 ②：同一堆点，至少这三种切法都对
一句话记住
- 点阵是把晶体里重复出现的结构包袱缩成一个点；每个点阵点的周围环境必须完全相同。
- 平面点阵任意一点的矢量为 r2d = m a + n b，三维推广为 r = u a + v b + w c，系数一律整数。
- 三个不共线的点阵点唯一决定一个平面点阵；但基矢与单胞的选法并不唯一。
- 简式（初基）单胞只含 1 个点阵点，复式单胞含多个；惯用单胞为照顾对称性宁可不最小。